BAB III
LIMIT DAN FUNGSI KONTINU
3.1 Pengertian Limit
3.2 Teknik Aljabar Untuk Menghitung Limit
3.3 Limit Satu Sisi
3.4 Limit Tak Hingga dan Limit Menuju Tak Hingga
3.5 Limit Fungsi Trigonometri
3.6 Bilangan Alam
3.7 Fungsi Kontinu
Konsep limit mempunyai peranan yang sangat penting di dalam kalkulus dan berbagai bidang matematika. Oleh karena itu, konsep ini sangat perlu untuk dipahami. Meskipun pada awalnya konsep limit sukar untuk dipahami, tetapi dengan sedikit bantuan cara numeris kemudian konsep ini bisa dimengerti. Dan kenyataannya, setelah dipraktekkan masalah hitung limit relative mudah. Mengingat hal itu, maka pada bagian pertama Bab ini limit diterangkan secara intuitive (numeris). Kemudian pada bagian selanjutnya, dikembangkan teknik penghitungan limit.
3.1 Pengertian Limit
Terlebih dahulu diperhatikan fungsi . Grafik diberikan pada Gambar 3.1.1 di bawah ini.
Apa yang terjadi dengan apabila x cukup dekat dengan 2? Perhatikan table 3.1.1 berikut.
Tabel 3.1.1
x x
3 12 1,5 5,25
2,05 7,2025 1,95 6,8025
2,001 7,004001 1,999 6,996001
2,0001 7,00040001 1,9999 6,99960001
Dari table terlihat bahwa apabila x cukup dekat dengan 2, maka mendekati 7. Hal ini tidak mengherankan, karena apabila dihitung . Dalam hal ini dikatakan bahwa limit f(x) x mendekati 2 sama dengan 7, ditulis:
Selanjutnya, perhatikan fungsi f yang ditentukan oleh rumus:
Fungsi f tersebut tidak terdefinisikan di x = 1 karena di titik ini f(x) berbentuk . Tetapi masih dapat dipertanyakan apa yang terjadi pada f(x) bilamana x mendekati 1 tetapi . Untuk ,
Dari table 3.1.2 di bawah terlibat bahwa apabila x cukup dekat dengan 1, maka nilai mendekati 2. Jadi,
Tabel 3.1.2
x x
2 3 0,5 1,5
1,05 2,05 0,99 1,99
1,001 2,001 0,999975 1,999975
1,00000017 2,00000017 0,9999999 1,9999999
Dari beberapa uraian di atas, berikut diberikan definisi limit.
Secara matematis definisi di atas dapat ditulis sebagai berikut.
Catatan: Pada definisi limit di atas, fungsi f tidak perlu terdefinisikan di c. Limit f(x) untuk x mendekati c mungkin ada walaupun f tidak terdefinisikan di c.
Contoh 3.1.2 Buktikan bahwa (2x –5) = 3.
Penyelesaian:
|(2x –5) – 3| = |2x – 8| = |2(x – 4)| = |2| |x – 4| = 2|x – 4|
Diberikan bilangan e > 0 sebarang. Apabila diambil d = e/2, maka untuk setiap x di dalam domain f yang memenuhi 0 <|x – 4| < d berlaku:
|(2x – 5) – 3| = 2 |x – 4| < 2 d = 2.e/2 = e.█
Contoh 3.1.3 Buktikan bahwa untuk c > 0, .
Penyelesaian:
(3.1.1)
Ditinjau x >0 dengan sifat . Menurut ketidaksamaan segitiga:
Hal ini berakibat:
(3.1.2)
Selanjutnya, dari (3.1.1) dan (3.1.2) diperoleh:
,
untuk setiap x>0. Diberikan bilangan e > 0 sebarang. Apabila diambil maka untuk setiap x>0 dengan berlaku:
Jadi, untuk setiap e > 0 terdapat δ>0 sehingga untuk setiap x>0 dengan berlaku:
.█
Agar bisa lebih mendalami hitung limit, berikut diberikan sifat-sifat dasar limit.
Bukti: Misalkan dan . Akan ditunjukkan bahwa .
Diberikan sebarang, maka terdapat sehingga:
, untuk setiap dengan .
, untuk setiap dengan .
Apabila diambil maka untuk setiap dengan berlaku:
Hal ini berarti .█
Contoh 3.1.5 Tunjukkan bahwa tidak ada.
Penyelesaian: Untuk ,
Sementara, untuk ,
Karena nilai limit tidak tunggal maka tidak ada.█
3.2 Teknik Aljabar Untuk Menghitung Limit
Sifat-sifat dasar limit yang dinyatakan dalam beberapa teorema berikut ini sangat diperlukan dalam hitung limit. (Dengan berbagai pertimbangan bukti teorema tidak disertakan dalam buku ini).
Contoh 3.2.3
(a).
(b).
(c). .█
Contoh 3.2.4 Hitung .
Penyelesaian: Karena limit penyebut sama dengan 0, maka Teorema 3.2.2 (iv) tidak dapat digunakan. Akan tetapi, hal ini bukan berarti limit di atas tidak ada. Pada soal di atas, yang akan dihitung adalah nilai limit untuk x mendekati 2, bukan nilai untuk x sama dengan 2. Oleh karena itu, dengan memanfaatkan teknik-teknik aljabar, untuk diperoleh:
Sehingga:
.█
Contoh 3.2.5 Tentukan .
Penyelesaian:
.█
Contoh 3.2.6 Tentukan .
Penyelesaian:
.█
Pada contoh-contoh di atas telah digambarkan bagaimana teknik-teknik aljabar dapat digunakan untuk menyelesaikan soal hitung limit. Namun demikian tidak semua soal limit dapat diselesaikan dengan cara demikian. Sebagai contoh, misalnya .
Dalam berbagai hal, teorema di bawah ini sangat membantu dalam penyelesaian soal hitung limit.
Contoh 3.2.8 Tentukan .
Penyelesaian: Untuk , . Oleh karena itu, untuk berlaku:
Hal ini berakibat:
Selanjutnya, karena maka .█
Soal Latihan
Untuk soal 1 – 6, tunjukkan pernyataan berikut dengan definisi limit.
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. Jika , tunjukkan bahwa tidak ada.
Untuk soal 8 – 20, hitunglah masing-masing limit jika ada.
8. 9. 10.
11. 12. 13.
14. 15. 16.
17. 18. 19.
20. 21. 22.
3.3 Limit Satu Sisi
Kiranya mudah dipahami bahwa tidak ada, karena tidak terdefinisikan untuk . Namun demikian, apabila maka ada dan nilainya sama dengan 0. Hal ini membawa kita kepada definisi berikut ini.
Secara matematis, definisi di atas dapat dituliskan sebagai berikut:
(i). jika dan hanya jika untuk setiap ada sehingga untuk setiap berlaku .
(ii). jika dan hanya jika untuk setiap ada sehingga untuk setiap berlaku .
Contoh 3.3.2 (a). dan tidak ada.
(b). Untuk bilangan bulat n,
dan
Contoh 3.3.3 Tentukan jika diketahui:
Penyelesaian:
(a). Untuk x cukup dekat dengan 0 (baik x < 0 maupun x > 0), . Oleh karena itu,
(b). Untuk x cukup dekat dengan 1 dan x < 1, . Sehingga:
Tetapi, untuk x cukup dekat dengan 1 dan x > 1, . Sehingga:
.█
Dari beberapa contoh di atas, diperoleh beberapa kenyataan. Limit kiri suatu fungsi ada tetapi limit kanannya tidak ada (atau sebaliknya), limit kiri dan kanan suatu fungsi ada tetapi nilainya tidak sama, dan limit kiri dan kanan suatu fungsi ada dan nilainya sama. Selanjutnya, karena ketunggalan limit maka diperoleh pernyataan berikut.
Sebagai akibat langsung dari Teorema di atas, diperoleh:
Pada Contoh 3.3.3 di atas, karena maka tidak ada.
Contoh 3.3.6 Diberikan:
Karena untuk , , maka:
.
Secara sama,
.
Selanjutnya, karena maka: .█
Contoh 3.3.7 Tentukan jika diketahui:
Penyelesaian:
Jadi, .█
3.4 Limit Tak Hingga dan Limit Menuju Tak Hingga
Terlebih dahulu diperhatikan masalah hitung limit berikut: . Untuk nilai-nilai x yang cukup dekat dengan 0, maka nilai-nilai diberikan pada table berikut ini.
Tabel 3.4.1
x x
1 1 −1 1
0,5 4 −0,5 4
0,01 10.000 −0,01 10.000
0,0001 100.000.000 −0,0001 100.000.000
0,000005 40.000.000.000 −0,000005 40.000.000.000
Dari Tabel 3.4.1 di atas dapat dilihat bahwa apabila nilai x semakin dekat dengan 0, maka nilai menjadi semakin besar. Bahkan nilai akan menjadi besar tak terbatas apabila x mendekati 0, baik dari sisi kiri maupun dari sisi kanan. Grafik fungsi dapat dilihat pada Gambar 3.4.1.
Dalam hal ini, dikatakan bahwa limit f(x) x menuju nol sama dengan tak hingga, ditulis:
Secara sama mudah diperlihatkan:
Selanjutnya, diperoleh definisi berikut:
Secara matematis, Definisi di atas dapat ditulis sebagai:
Contoh 3.4.2
(a). (b). .
Di atas telah diterangkan pengertian limit untuk , dengan c suatu bilangan berhingga. Akan tetapi, dalam berbagai aplikasi sering ditanyakan bagaimana nilai apabila nilai x cukup besar.
Sebagai contoh, bagaimana nilai apabila nilai x cukup besar? Tabel 3.4.2 di bawah memperlihatkan nilai f untuk berbagai nilai x. Ternyata semakin besar nilai x (arah positif), nilai semakin kecil mendekati nol. Dalam hal ini dikatakan:
Tabel 3.4.2
(a) (b)
x x
10 0,1 −1 −1
1.000.000 0,000001 −1.000.000 −0,000001
5.000.000 0,0000002 −5.000.000 −0,0000002
100.000.000 0,00000001 −100.000.000 −0,00000001
Secara sama, apabila x besar tak terbatas arah negative ternyata berakibat mendekati nol, yaitu:
Kemudian dapat diturunkan pengertian limit menuju tak hingga. Hal itu dituliskan dalam definisi berikut.
Secara matematis, Definisi 3.4.3 dapat ditulis sebagai:
Mudah ditunjukkan bahwa:
dan
Contoh 3.4.4 Tentukan .
Penyelesaian: Untuk , . Sehingga . Selanjutnya, karena maka dengan Teorema Apit diperoleh:
.█
Contoh 3.4.5 Hitung .
Penyelesaian: Karena:
maka sifat limit perbagian tidak dapat digunakan. Namun demikian apabila pembilang dan penyebut sama-sama dibagi dengan maka:
.█
Contoh 3.4.6 Tentukan .
Penyelesaian: Dengan membagi pembilang dan penyebut dengan , diperoleh:
.█
Contoh 3.4.7 Hitung .
Penyelesaian: Dengan membagi pembilang dan penyebut dengan , diperoleh:
.█
Soal Latihan
Untuk soal 1 – 20, tentukan nilai limitnya jika ada. Jika tidak ada limitnya, terangkan alasannya!
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. 14. 15.
16. 17. 18.
19. 20.
21. Tentukan , , dan jika diberikan:
22. Fungsi f yang terdefinisikan pada dikatakan genap (atau ganjil) jika (atau ) untuk setiap . Jika maka tentukan jika: (a). f genap, (b). f ganjil.
3.5 Limit Fungsi Trigonometri
Dengan memanfaatkan Teorema Apit, dapat ditunjukkan teorema di bawah ini.
Contoh 3.5.2 Hitung .
Penyelesaian:
Tetapi untuk berakibat dan , sehingga:
.█
Soal Latihan
Untuk soal 1 – 12, hitunglah nilai limitnya.
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
3.6 Bilangan Alam
Pada bagian ini, pembaca diingatkan kembali pada rumus binomium Newton. Untuk sebarang dan :
(3.6.1)
Apabila diambil , maka dari (3.6.1) diperoleh:
Karena maka menurut Teorema Apit nilai ada. Berdasarkan perhitungan, untuk diperoleh:
Selanjutnya, e disebut bilangan alam. Secara sama dapat ditunjukkan:
(3.6.2)
Mudah ditunjukkan bahwa untuk berlaku:
Selanjutnya, apabila diberikan sebarang bilangan real positif x maka dapat dicari bilangan asli m dan n sehingga . Hal ini berakibat:
dan karena maka sekali lagi dengan Teorema Apit diperoleh:
(3.6.3)
Berdasarkan (3.6.2), tentunya mudah dipahami bahwa:
(3.6.4)
Selanjutnya, apabila diambil substitusi , maka untuk berakibat . Sehingga, dari (3.6.3) dan (3.6.4) diperoleh:
(3.6.5)
Contoh 3.6.1 Hitung .
Penyelesaian: Apabila diambil substitusi maka berturut-turut diperoleh:
(i). , sehingga .
(ii). Karena maka untuk berakibat .
Selanjutnya, berdasarkan (3.6.4):
.█
Contoh 3.6.2 Tentukan .
Penyelesaian: Soal dapat ditulis:
Diambil substitusi . Jika maka . Selanjutnya, menurut (3.6.5) diperoleh:
.█
Teorema berikut ini sangat bermanfaat untuk menyelesaikan soal-soal hitung limit yang berkaitan dengan bilangan alam. Bukti diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
Contoh 3.6.4 Tentukan .
Penyelesaian: Soal dapat ditulis:
Apabila berturut-turut diambil dan maka:
Selanjutnya, menurut Teorema 3.6.3:
.█
Contoh 3.6.5 Hitung .
Penyelesaian:
Selanjutnya, jika diambil dan maka:
Sehingga menurut Teorema 3.6.3:
.█
Contoh 3.6.6 Selesaikan .
Penyelesaian: Tulis:
Berturut-turut diambil substitusi:
maka:
(i).
(ii).
Selanjutnya, dari (i) dan (ii) diperoleh:
.█
Soal Latihan
Untuk soal 1 – 10, hitunglah nilai limitnya.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
3.7 Fungsi Kontinu
Seperti telah dijelaskan pada bagian sebelumnya, kadang-kadang nilai sama dengan , kadang pula tidak sama. Pada kenyataannya, meskipun tidak terdefinisikan akan tetapi mungkin ada. Apabila = maka dikatakan fungsi f kontinu di c.
Definisi 3.7.1 di atas secara implisit mensyaratkan tiga hal agar fungsi f kontinu di a, yaitu:
(i). f(a) ada atau terdefinisikan,
(ii). ada, dan
(iii).
Secara grafik, fungsi f kontinu di jika grafik fungsi f pada suatu interval yang memuat a tidak terpotong di titik . Jika fungsi f tidak kontinu di a maka dikatakan f diskontinu di a. Pada Gambar, f kontinu di x1 dan di setiap titik di dalam kecuali di titik-titik x2, x3, dan x4. Fungsi f diskontinu di x2 karena tidak ada, diskontinu di x3 karena nilai tidak sama dengan nilai fungsi di x3 (meskipun keduanya ada), dan diskontinu di x4 karena nilai fungsi di titik ini tidak ada.
Fungsi f dikatakan kontinu pada interval I jika f kontinu di setiap titik anggota I.
Contoh 3.7.2
(a). Fungsi f dengan rumus diskontinu di x = 1 karena f (1) tidak terdefinisi.
(b). Fungsi Heavyside H yang didefinisikan oleh
diskontinu di x = 0 sebab tidak ada.
(c). Fungsi g dengan definisi:
diskontinu di x = 2 sebab g(2) = 3 sedangkan . Namun demikian fungsi g kontinu di x = 1 sebab .█
Berikut sifat-sifat dasar fungsi kontinu.
Seperti halnya pada hitung limit, dalam kekontinuan juga dikenal istilah kontinu satu sisi. Hal itu diberikan pada definisi berikut ini.
Contoh 3.7.5 Diberikan Selidikilah kekontinuan fungsi f.
Penyelesaian:
Jelas f tidak kontinu pada dan pada sebab f tidak terdefinisi pada interval tersebut. Untuk nilai-nilai a dengan –1 < a <1 diperoleh:
Jadi, f kontinu pada (-1, 1). Dengan perhitungan serupa didapatkan:
dan
sehingga f kontinu dari kanan di x = -1 dan kontinu dari kiri di x = 1. Jadi, f kontinu pada .█
Contoh 3.7.7
(a). kontinu pada R .
(b). kontinu pada R ; .
(c). kontinu pada .█
Hubungan antara fungsi kontinu dan hitung limit dinyatakan dalam teorema berikut.
Contoh 3.7.9 Hitung .
Penyelesaian: Namakan dan . Karena dan f kontinu di x = 2 maka .█
Soal Latihan
Untuk soal 1 – 8, tentukan titik-titik di mana fungsi berikut diskontinu.
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8.
9. Selidiki kontinuitas pada
10.Jika maka tunjukkan bahwa f kontinu pada .
Untuk soal 11 – 13, tentukan nilai a dan b agar fungsi-fungsi berikut kontinu untuk pada R.
11. 12.
No comments:
Post a Comment