aturan L'Hopital

     ATURAN L’HOPITAL UNTUK BENTUK   DAN
Suatu pembagian   disebut bentuk tak tentu pada c,
berbentuk   jika   dan
berbentuk   jika   dan
Untuk menghitung limit dengan bentuk tak tentu seperti di atas, dapat digunakan suatu teorema yang dikenal dengan nama Teorema L’Hopital.

Teorema 8.1 (Aturan L’Hopital untuk bentuk  )
Jika  = 0 dan   ada (berhingga atau tak berhingga) maka






Meskipun aturan L’Hopital mudah digunakan, namun haruslah berhati-hati dalam pemakaiannya. Aturan tersebut tidak boleh digunakan jika syarat-syaratnya tidak dipenuhi. Jika tidak teliti, kita dapat melakukan kesalahan-kesalahan. Di samping itu, adakalanya aturan itu tidak dapat digunakan karena bentuk yang diperoleh semakin rumit.


Tentukan
Tampak syarat L’Hopital dipenuhi, karena ini merupakan bentuk tak tentu  .
Jika aturan L’Hopital diterapkan secara langsung, akan diperoleh:
  =   =   = ¼(bentuk semakin rumit).
Jalan terbaik adalah mengubahnya menjadi:
  =   =
Limit ini berbentuk   dan dapat diselesaikan dengan teorema berikut:

Teorema 8.2 (Aturan L’Hopital untuk bentuk  )
Misalkan  = ¥ dan   ada (berhingga atau tak berhingga) maka

Dari contoh di atas, bahwa :   =   =   = 0


Tentukan
Kita lihat bahwa persoalan tersebut merupakan bentuk tak tentu  , tapi apakah aturan L’Hopital dapat digunakan? Mari kita lihat.
Jika dapat digunakan, maka akan diperoleh
  yang nilai limitnya tidak ada.
Tapi apakah ini berarti   tidak ada?
Sebenarnya tidak begitu, karena kita dapat mengerjakannya
  =



7.2. ATURAN L’HOPITAL UNTUK BENTUK   DAN
Andaikan   dan  , maka bagaimana dengan  ? apakah akan menuju 0 ataukah menuju ¥ atau memiliki limit yang lain?. Aturan L’Hopital dapat digunakan untuk mencari limit dari bentuk tak tentu seperti ini, setelah diubah menjadi bentuk   atau  , karena 
          ­             ­  
                           
Demikian juga, bentuk tak tentu ¥ - ¥ akan dapat diselesaikan dengan aturan L’Hopital setelah persoalan tersebut diubah menjadi berbentuk   atau  , karena


Tentukan nilai dari
Ini merupakan bentuk tak tentu  , karena   dan
Dapat diselesaikan sbb
  =    (i)   (bentuk (i)  )   atau
  =    (ii)   (bentuk (ii)  )
Kita dapat memilih salah satu untuk diselesaikan. Misalkan yang akan kita selesaikan kali ini adalah bentuk yang nomor (ii)
  =   = 
    =
Silahkan Anda coba selesaikan jika bentuk yang dipilih adalah bentuk nomor (i).

7.3. ATURAN L’HOPITAL UNTUK BENTUK  , 00,  DAN
 Bentuk tak tentu 00, ¥0 dan 1¥ dapat dituliskan sebagai bentuk logaritma sedemikian sehingga aturan L’Hopital dapat digunakan.
Perhatikan bahwa

sehingga didapat  , dengan L =
Jika didapat   berbentuk   atau   , dapat diselesaikan dengan cara seperti di atas.


Akan dicari
 = eL, dengan
sehingga didapat  = e1 = e

Epha Diana.2011.materi 09.uin.Jogjakarta