Mathematic: November 2011

HIMPUNAN DENUMERABEL
Salah satu atau dua kelompok secara acak mempresentasikan tugas mereka dan dibahas bersama-sama.
     Himpunan Ekuivalen
Mudah untuk menjawab pertanyaan apakah dua buah himpunan berhingga mempunyai banyak elemen sama atau tidak. Dua himpunan berhingga yang mempunyai banyak elemen yang sama, pastilah dapat dibuat korespondensi 1-1 antar keduanya. Namun, bagaimana membandingkan dua buah himpunan tak berhingga?. Membandingkan dua himpunan tak berhingga, sangat bergantung pada bagaimana dua himpunan tersebut ekuivalen atau tidak. Berikut akan didefinisikan dua buah himpunan yang ekuivalen.
v    Definisi :
Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen dinotasikan A ~ B (A ekuivalen B) jhj terdapat suatu fungsi bijektif dari A ke B.
v    Contoh :
1.    Misalkan G = [0,1] dan H = [2,5] maka G ~ H, karena dapat dibuat korespondensi 1-1 (fungsi bijektif) f : G ® H yang didefinisikan oleh : f(x) = 3x + 2. Tunjukkan bahwa f 1-1 dan pada
2.    Jika N = himpunan bilangan asli dan E = 2N = {2n|n bilangan asli} maka N ~ E karena karena dapat dibuat fungsi bijektif, g : N ® E yang didefinisikan oleh : g(x) = 2x. Tunjukkan bahwa g 1-1 dan pada
v    Teorema :
relasi pada keluarga himpunan yang didefinisikan A ~ B merupakan relasi ekuivalensi, yaitu : (1) refleksif, (2) simetris, dan (3) transitif
Bukti :
Ambil sebarang himpunan A, B, dan C, maka :
(1)    karena dapat dibuat fungsi identitas I dari A ke A, yaitu I(a) = a untuk "a Î A yang merupakan fungsi bijektif maka A ~ A. Dengan kata lain relasi ~ adalah reflektif
(2)    Jika A ~ B akan ditunjukkan bahwa B ~ A artinya ~ simetris :
Jika A ~ B maka terdapat fungsi bijektif f dari A ke B, sehingga terdapat pula fungsi bijektif h = f -1 dari B ke A maka B ~ A
(3)    Mahasiswa dipersilakan membuktikan bahwa ~ adalah transitif.
     Himpunan Denumerabel
v    Definisi : Himpunan denumerable
Jika sebuah himpunan D ekuivalen dengan himpunan bilangan asli N maka D dinamakan himpunan denumerable.
Contoh :
1.    P = {0, 2, 4, 6, .... } adalah denumerabel karena dapat dibentuk fungsi bijaktif f(x) =   dari P ke N
2.    Himpunan bilangan bulat Z juga denumerabel
Z = {0, –1 , 1, –2, 2, –3, 3, ....... }

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ........ }
Fungsi g dari Z ke N dapat didefinisikan, sebagai :
g(a) = , sehingga g adalah bijektif

     Bilangan Kardinal
Karena relasi ~ pada keluarga himpunan merupakan relasi ekuivalen maka menurut teorema fundamental tentang relasi ekuivalen bahwa keluarga himpunan tersebut terpartisi menjadi kelas-kelas ekuivalen.
v    Definisi Bilangan Kardinal
Misalkan A adalah sebarang himpunan dan a menyatakan keluarga himpunan yang ekuivalen dengan A, maka a disebut sebuah bilangan kardinal atau disebut kardinal saja (cardinal number) dan dinyatakan oleh a = # (A)
v    Definisi : kardinal dari himpunan berhingga
Bilangan kardinal dari himpunan f, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, ….. berturut-turut dinyatakan oleh 0, 1, 2, 3, ….., dan dinamakan cardinal berhingga (finite cardinal}
v    Definisi : cardinal N dan interval satuan
Bilangan cardinal dari himpunan bilangan asli N dinyatakan oleh #(N) = a = N0 (dibaca “aleph null”) dan bilangan kardinal interval satuan [0,1] dan #([0,1]) = c
Catatan :
·    himpunan denumerable D ~ N maka #(D) = a = N0 .
·    Himpunan yang ekuivalen dengan interval [0.1] mempunyai bilangan kardinal c
Tugas Kelompok:
Buatlah contoh 3 buah himpunan denumerable dengan memberikan fungsi bijektif yang menunjukkan bahwa himpunan tersebut denumerable.

BAB III
LIMIT DAN FUNGSI KONTINU

3.1 Pengertian Limit
3.2 Teknik Aljabar Untuk Menghitung Limit
3.3 Limit Satu Sisi
3.4 Limit Tak Hingga dan Limit Menuju Tak Hingga
3.5 Limit Fungsi Trigonometri
3.6 Bilangan Alam
3.7 Fungsi Kontinu

    Konsep limit mempunyai peranan yang sangat penting di dalam kalkulus dan berbagai bidang matematika. Oleh karena itu, konsep ini sangat perlu untuk dipahami. Meskipun pada awalnya konsep limit sukar untuk dipahami, tetapi dengan sedikit bantuan cara numeris kemudian konsep ini bisa dimengerti. Dan kenyataannya, setelah dipraktekkan masalah hitung limit relative mudah. Mengingat hal itu, maka pada bagian pertama Bab ini limit diterangkan secara intuitive (numeris). Kemudian pada bagian selanjutnya, dikembangkan teknik penghitungan limit.

3.1 Pengertian Limit
    Terlebih dahulu diperhatikan fungsi . Grafik   diberikan pada Gambar 3.1.1 di bawah ini.

Apa yang terjadi dengan   apabila x cukup dekat dengan 2? Perhatikan table 3.1.1 berikut.

Tabel 3.1.1

x         x
3    12    1,5    5,25
2,05    7,2025    1,95    6,8025
2,001    7,004001    1,999    6,996001
2,0001    7,00040001    1,9999    6,99960001

Dari table terlihat bahwa apabila x cukup dekat dengan 2, maka   mendekati 7. Hal ini tidak mengherankan, karena apabila dihitung . Dalam hal ini dikatakan bahwa limit f(x) x mendekati 2 sama dengan 7, ditulis:

     Selanjutnya, perhatikan fungsi f yang ditentukan oleh rumus:

Fungsi f tersebut tidak terdefinisikan di x = 1 karena di titik ini f(x) berbentuk . Tetapi masih dapat dipertanyakan apa yang terjadi pada f(x) bilamana x mendekati 1 tetapi . Untuk ,

Dari table 3.1.2 di bawah terlibat bahwa apabila x cukup dekat dengan 1, maka nilai   mendekati 2. Jadi,

Tabel 3.1.2

x         x
2    3    0,5    1,5
1,05    2,05    0,99    1,99
1,001    2,001    0,999975    1,999975
1,00000017    2,00000017    0,9999999    1,9999999

Dari beberapa uraian di atas, berikut diberikan definisi limit.

Secara matematis definisi di atas dapat ditulis sebagai berikut.

Catatan: Pada definisi limit di atas, fungsi f tidak perlu terdefinisikan di c. Limit f(x) untuk x mendekati c mungkin ada walaupun f tidak terdefinisikan di c.

Contoh 3.1.2 Buktikan bahwa   (2x –5) = 3.

Penyelesaian:
    |(2x –5) – 3| = |2x – 8| = |2(x – 4)| = |2| |x – 4| = 2|x – 4|
Diberikan bilangan e > 0 sebarang. Apabila diambil d = e/2, maka untuk setiap x di dalam domain f yang memenuhi 0 <|x – 4| < d berlaku:
|(2x – 5) – 3| = 2 |x – 4| < 2 d = 2.e/2 = e.█

Contoh 3.1.3 Buktikan bahwa untuk c > 0, .

Penyelesaian:
(3.1.1)
Ditinjau x >0 dengan sifat . Menurut ketidaksamaan segitiga:

Hal ini berakibat:
(3.1.2)
Selanjutnya, dari (3.1.1) dan (3.1.2) diperoleh:
,
untuk setiap x>0. Diberikan bilangan e > 0 sebarang. Apabila diambil   maka untuk setiap x>0 dengan   berlaku:

Jadi, untuk setiap e > 0 terdapat δ>0 sehingga untuk setiap x>0 dengan   berlaku:
.█

    Agar bisa lebih mendalami hitung limit, berikut diberikan sifat-sifat dasar limit.

Bukti: Misalkan   dan . Akan ditunjukkan bahwa .
Diberikan   sebarang, maka terdapat   sehingga:
,    untuk setiap   dengan .
,    untuk setiap   dengan .
Apabila diambil   maka untuk setiap   dengan   berlaku:

Hal ini berarti .█

Contoh 3.1.5 Tunjukkan bahwa   tidak ada.
Penyelesaian: Untuk ,

Sementara, untuk ,

Karena nilai limit tidak tunggal maka   tidak ada.█

3.2 Teknik Aljabar Untuk Menghitung Limit
    Sifat-sifat dasar limit yang dinyatakan dalam beberapa teorema berikut ini sangat diperlukan dalam hitung limit. (Dengan berbagai pertimbangan bukti teorema tidak disertakan dalam buku ini).

Contoh 3.2.3
(a).


(b).


(c). .█

Contoh 3.2.4 Hitung .
Penyelesaian: Karena limit penyebut sama dengan 0, maka Teorema 3.2.2 (iv) tidak dapat digunakan. Akan tetapi, hal ini bukan berarti limit di atas tidak ada. Pada soal di atas, yang akan dihitung adalah nilai limit untuk x mendekati 2, bukan nilai untuk x sama dengan 2. Oleh karena itu, dengan memanfaatkan teknik-teknik aljabar, untuk   diperoleh:

Sehingga:
.█

Contoh 3.2.5 Tentukan .
Penyelesaian:
.█

Contoh 3.2.6 Tentukan .
Penyelesaian:

       .█

Pada contoh-contoh di atas telah digambarkan bagaimana teknik-teknik aljabar dapat digunakan untuk menyelesaikan soal hitung limit. Namun demikian tidak semua soal limit dapat diselesaikan dengan cara demikian. Sebagai contoh, misalnya .
Dalam berbagai hal, teorema di bawah ini sangat membantu dalam penyelesaian soal hitung limit.

Contoh 3.2.8 Tentukan .
Penyelesaian: Untuk , . Oleh karena itu, untuk   berlaku:

Hal ini berakibat:

Selanjutnya, karena   maka .█

Soal Latihan
Untuk soal 1 – 6, tunjukkan pernyataan berikut dengan definisi limit.
1.             2.         3.
4.             5.         6.

7. Jika , tunjukkan bahwa   tidak ada.

Untuk soal 8 – 20, hitunglah masing-masing limit jika ada.
8.         9.         10.
11.         12.             13.
14.         15.             16.
17.         18.             19.
20.     21.             22.

3.3 Limit Satu Sisi
    Kiranya mudah dipahami bahwa   tidak ada, karena   tidak terdefinisikan untuk . Namun demikian, apabila   maka   ada dan nilainya sama dengan 0. Hal ini membawa kita kepada definisi berikut ini.

    Secara matematis, definisi di atas dapat dituliskan sebagai berikut:

(i).    jika dan hanya jika untuk setiap   ada   sehingga untuk setiap   berlaku .
(ii).   jika dan hanya jika untuk setiap   ada   sehingga untuk setiap   berlaku .

Contoh 3.3.2 (a).         dan        tidak ada.
(b). Untuk bilangan bulat n,
                     dan

Contoh 3.3.3 Tentukan   jika diketahui:

Penyelesaian:
(a). Untuk x cukup dekat dengan 0 (baik x < 0 maupun x > 0), . Oleh karena itu,

(b). Untuk x cukup dekat dengan 1 dan x < 1, . Sehingga:

Tetapi, untuk x cukup dekat dengan 1 dan x > 1, . Sehingga:
.█

    Dari beberapa contoh di atas, diperoleh beberapa kenyataan. Limit kiri suatu fungsi ada tetapi limit kanannya tidak ada (atau sebaliknya), limit kiri dan kanan suatu fungsi ada tetapi nilainya tidak sama, dan limit kiri dan kanan suatu fungsi ada dan nilainya sama. Selanjutnya, karena ketunggalan limit maka diperoleh pernyataan berikut.

    Sebagai akibat langsung dari Teorema di atas, diperoleh:

Pada Contoh 3.3.3 di atas, karena   maka   tidak ada.
Contoh 3.3.6 Diberikan:

Karena untuk , , maka:
.
Secara sama,
.
Selanjutnya, karena   maka: .█

Contoh 3.3.7 Tentukan   jika diketahui:

Penyelesaian:

Jadi, .█

3.4 Limit Tak Hingga dan Limit Menuju Tak Hingga
    Terlebih dahulu diperhatikan masalah hitung limit berikut: . Untuk nilai-nilai x yang cukup dekat dengan 0, maka nilai-nilai   diberikan pada table berikut ini.

            Tabel 3.4.1

x         x
1    1    −1    1
0,5    4    −0,5    4
0,01    10.000    −0,01    10.000
0,0001    100.000.000    −0,0001    100.000.000
0,000005    40.000.000.000    −0,000005    40.000.000.000

Dari Tabel 3.4.1 di atas dapat dilihat bahwa apabila nilai x semakin dekat dengan 0, maka nilai   menjadi semakin besar. Bahkan nilai   akan menjadi besar tak terbatas apabila x mendekati 0, baik dari sisi kiri maupun dari sisi kanan. Grafik fungsi   dapat dilihat pada Gambar 3.4.1.

Dalam hal ini, dikatakan bahwa limit f(x) x menuju nol sama dengan tak hingga, ditulis:

Secara sama mudah diperlihatkan:

Selanjutnya, diperoleh definisi berikut:

Secara matematis, Definisi di atas dapat ditulis sebagai:

Contoh 3.4.2
(a).                 (b). .

    Di atas telah diterangkan pengertian limit untuk , dengan c suatu bilangan berhingga. Akan tetapi, dalam berbagai aplikasi sering ditanyakan bagaimana nilai   apabila nilai x cukup besar.
Sebagai contoh, bagaimana nilai   apabila nilai x cukup besar? Tabel 3.4.2 di bawah memperlihatkan nilai f untuk berbagai nilai x. Ternyata semakin besar nilai x (arah positif), nilai   semakin kecil mendekati nol. Dalam hal ini dikatakan:

Tabel 3.4.2
                     (a)                                       (b)

x             x
10    0,1        −1    −1
1.000.000    0,000001        −1.000.000    −0,000001
5.000.000    0,0000002        −5.000.000    −0,0000002
100.000.000    0,00000001        −100.000.000    −0,00000001

Secara sama, apabila x besar tak terbatas arah negative ternyata berakibat   mendekati nol, yaitu:

    Kemudian dapat diturunkan pengertian limit menuju tak hingga. Hal itu dituliskan dalam definisi berikut.

    Secara matematis, Definisi 3.4.3 dapat ditulis sebagai:

    Mudah ditunjukkan bahwa:
                     dan

Contoh 3.4.4 Tentukan .
Penyelesaian: Untuk , . Sehingga . Selanjutnya, karena   maka dengan Teorema Apit diperoleh:
        .█

Contoh 3.4.5 Hitung .
Penyelesaian: Karena:

maka sifat limit perbagian tidak dapat digunakan. Namun demikian apabila pembilang dan penyebut sama-sama dibagi dengan   maka:

       .█

Contoh 3.4.6 Tentukan .
Penyelesaian: Dengan membagi pembilang dan penyebut dengan , diperoleh:

       .█

Contoh 3.4.7 Hitung .
Penyelesaian: Dengan membagi pembilang dan penyebut dengan , diperoleh:

       .█

Soal Latihan
Untuk soal 1 – 20, tentukan nilai limitnya jika ada. Jika tidak ada limitnya, terangkan alasannya!
1.         2.             3.
4.         5.             6.
7.         8.             9.
10.     11.     12.
13.         14.         15.
16.     17.         18.
19.     20.

21. Tentukan , , dan   jika diberikan:

22. Fungsi f yang terdefinisikan pada    dikatakan genap (atau ganjil) jika   (atau ) untuk setiap . Jika   maka tentukan   jika: (a). f genap,        (b). f ganjil.

3.5 Limit Fungsi Trigonometri
    Dengan memanfaatkan Teorema Apit, dapat ditunjukkan teorema di bawah ini.

Contoh 3.5.2 Hitung .
Penyelesaian:

Tetapi untuk   berakibat   dan , sehingga:
.█
Soal Latihan
Untuk soal 1 – 12, hitunglah nilai limitnya.
1.         2.             3.
4.         5.             6.
7.     8.         9.
10.         11.         12.

3.6 Bilangan Alam
    Pada bagian ini, pembaca diingatkan kembali pada rumus binomium Newton. Untuk sebarang   dan :
(3.6.1)
Apabila diambil , maka dari (3.6.1) diperoleh:

Karena   maka menurut Teorema Apit nilai   ada. Berdasarkan perhitungan, untuk   diperoleh:

Selanjutnya, e disebut bilangan alam. Secara sama dapat ditunjukkan:
(3.6.2)
Mudah ditunjukkan bahwa untuk   berlaku:

Selanjutnya, apabila diberikan sebarang bilangan real positif x maka dapat dicari bilangan asli m dan n sehingga . Hal ini berakibat:

dan karena   maka sekali lagi dengan Teorema Apit diperoleh:
(3.6.3)
Berdasarkan (3.6.2), tentunya mudah dipahami bahwa:
(3.6.4)
Selanjutnya, apabila diambil substitusi , maka untuk   berakibat . Sehingga, dari (3.6.3) dan (3.6.4) diperoleh:
(3.6.5)

Contoh 3.6.1 Hitung .
Penyelesaian: Apabila diambil substitusi   maka berturut-turut diperoleh:
(i).    , sehingga .
(ii). Karena   maka untuk   berakibat .
Selanjutnya, berdasarkan (3.6.4):


                                         .█

Contoh 3.6.2 Tentukan .
Penyelesaian: Soal dapat ditulis:

Diambil substitusi . Jika   maka . Selanjutnya, menurut (3.6.5) diperoleh:
.█

    Teorema berikut ini sangat bermanfaat untuk menyelesaikan soal-soal hitung limit yang berkaitan dengan bilangan alam. Bukti diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

Contoh 3.6.4 Tentukan .
Penyelesaian: Soal dapat ditulis:

Apabila berturut-turut diambil   dan   maka:

Selanjutnya, menurut Teorema 3.6.3:
.█

Contoh 3.6.5 Hitung .
Penyelesaian:

Selanjutnya, jika diambil   dan   maka:

Sehingga menurut Teorema 3.6.3:

.█

Contoh 3.6.6 Selesaikan .
Penyelesaian: Tulis:

Berturut-turut diambil substitusi:

maka:
(i).
(ii).
Selanjutnya, dari (i) dan (ii) diperoleh:
.█

Soal Latihan
Untuk soal 1 – 10, hitunglah nilai limitnya.
1.             2.
3.                 4.
5.                 6.
7.                     8.
9.             10.

3.7 Fungsi Kontinu
    Seperti telah dijelaskan pada bagian sebelumnya, kadang-kadang nilai sama dengan , kadang pula tidak sama. Pada kenyataannya, meskipun   tidak terdefinisikan akan tetapi   mungkin ada. Apabila   = maka dikatakan fungsi f kontinu di c.

Definisi 3.7.1 di atas secara implisit mensyaratkan tiga hal agar fungsi f kontinu di a, yaitu:
(i). f(a) ada atau terdefinisikan,
             (ii).    ada, dan
    (iii).
Secara grafik, fungsi f kontinu di   jika grafik fungsi f pada suatu interval yang memuat a tidak terpotong di titik . Jika fungsi f tidak kontinu di a maka dikatakan f diskontinu di a. Pada Gambar, f kontinu di x1 dan di setiap titik di dalam   kecuali di titik-titik x2, x3, dan x4. Fungsi f diskontinu di x2 karena   tidak ada, diskontinu di x3 karena nilai tidak sama dengan nilai fungsi di x3 (meskipun keduanya ada), dan diskontinu di x4 karena nilai fungsi di titik ini tidak ada.











Fungsi f dikatakan kontinu pada interval I jika f kontinu di setiap titik anggota I.

Contoh 3.7.2
(a). Fungsi f dengan rumus   diskontinu di x = 1 karena f (1) tidak terdefinisi.
(b). Fungsi Heavyside H yang didefinisikan oleh


diskontinu di x = 0 sebab    tidak ada.
(c). Fungsi g dengan definisi:

diskontinu di x = 2 sebab g(2) = 3 sedangkan . Namun demikian fungsi g kontinu di x = 1 sebab .█

    Berikut sifat-sifat dasar fungsi kontinu.




    Seperti halnya pada hitung limit, dalam kekontinuan juga dikenal istilah kontinu satu sisi. Hal itu diberikan pada definisi berikut ini.


Contoh 3.7.5 Diberikan   Selidikilah kekontinuan fungsi f.
Penyelesaian:
Jelas f tidak kontinu pada   dan pada   sebab f tidak terdefinisi pada interval tersebut. Untuk nilai-nilai a dengan –1 < a <1 diperoleh:

Jadi, f kontinu pada (-1, 1). Dengan perhitungan serupa didapatkan:
        dan
sehingga f kontinu dari kanan di x = -1 dan kontinu dari kiri di x = 1. Jadi, f kontinu pada .█

Contoh 3.7.7
(a). kontinu pada R .
(b).   kontinu pada R ; .
(c). kontinu pada   .█

    Hubungan antara fungsi kontinu dan hitung limit dinyatakan dalam teorema berikut.

Contoh 3.7.9 Hitung   .
Penyelesaian: Namakan   dan . Karena    dan f kontinu di x = 2 maka     .█

Soal Latihan
Untuk soal 1 – 8, tentukan titik-titik di mana fungsi berikut diskontinu.
1.             2.         3.
4.             5.         6.
7.         8.

9. Selidiki kontinuitas   pada
10.Jika maka tunjukkan bahwa f kontinu pada .

Untuk soal 11 – 13, tentukan nilai a dan b agar fungsi-fungsi berikut kontinu untuk pada R.
11.             12.

Mathematic

Saturday 26 November 2011

aturan L'Hopital

himpunan denumerabel

kalkulus 1 limit

Refleksi Perkuliahan Filsafat Ilmu-Etik dan Estetika Pertunjukan Wayang

My Visitor